Conicas

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Sección cónica

Se denomina sección cónica (o simplemente cónica) a todas las curvas resultantes de las diferentes intersecciones entre un cono y un plano; si dicho plano no pasa por el vértice, se obtienen las cónicas propiamente dichas. Se clasifican en cuatro tipos: elipse, parábola, hipérbola y circunferencia.

Etimología

La primera definición conocida de sección cónica surge en la Antigua Grecia, cerca del año 340 a.C (Menecmo) donde las definieron como secciones «de un cono circular recto».1​ Los nombres de hipérbola, parábola y elipse se deben a Apolonio de Perge. Actualmente, las secciones cónicas pueden definirse de varias maneras; estas definiciones provienen de las diversas ramas de la matemática: como la geometría analítica, la geometría proyectiva, etc.

Tipos

En función de la relación existente entre el ángulo de conicidad (α) y la inclinación del plano respecto del eje del cono (β), pueden obtenerse diferentes secciones cónicas, a saber:

β < α : Hipérbola (naranja)

β = α : Parábola (azulado)

β > α : Elipse (verde)

β = 90º: Circunferencia (un caso particular de elipse) (rojo)

Y β= 180º : Triangular

Si el plano pasa por el vértice del cono, se puede comprobar que:

Cuando β > α la intersección es un único punto (el vértice).

Cuando β = α la intersección es una recta generatriz del cono (el plano será tangente al cono).

Cuando β < α la intersección vendrá dada por dos rectas que se cortan en el vértice.

Cuando β = 90º El ángulo formado por las rectas irá aumentando a medida β disminuye,cuando el plano contenga al eje del cono (β = 0).

Expresión algebraica

En coordenadas cartesianas, las cónicas se expresan en forma algebraica mediante ecuaciones cuadráticas de dos variables (x,y) de la forma:

a x 2 + 2 h x y + b y 2 + 2 g x + 2 f y + c = 0

en la que, en función de los valores de los parámetros, se tendrá:

h² > ab: hipérbola.

h² = ab: parábola.

h² < ab: elipse.

a = b y h = 0: circunferencia.

a:C y Z:0: triangular

Mediante un software se pueden representar las gráficas de la ecuación general de las cónicas. A continuación se presentan los tres casos: Parábola, elipse e hipérbola.

Características

La elipse es el lugar geométrico de los puntos del plano tales que la suma de las distancias a dos puntos fijos llamados focos es constante.

Además de los focos F y F´, en una elipse se destacan los siguientes elementos:

Centro, O

Eje mayor, AA´

Eje menor, BB´

Distancia focal, OF

Además de los focos y de las asíntotas, en la hipérbola se destacan los siguientes elementos:

Centro, O

Vértices, A y A

Distancia entre los vértices

Distancia entre los focos

Aplicaciones

Las curvas cónicas son importantes en astronomía: dos cuerpos masivos que interactúan según la ley de gravitación universal, sus trayectorias describen secciones cónicas si su centro de masa se considera en reposo. Si están relativamente próximas describirán elipses, si se alejan demasiado describirán hipérbolas o parábolas.

También son importantes en aerodinámica y en su aplicación industrial, ya que permiten ser repetidas por medios mecánicos con gran exactitud, logrando superficies, formas y curvas perfectas.

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