Eventos Independientes

Eventos Independientes

EVENTOS INDEPENDIENTES

Cuando A y B son dos eventos con probabilidades positivas, hemos visto que en general la probabilidad condicional del evento B dado el evento A es diferente de la probabilidad del evento B. Sin embargo, cuando se tiene la igualdad: P(B/A) = P(B) es de especial importancia porque esto quiere decir que el evento B no depende o es independiente del evento A. Es decir, no importa si ocurrió o no el evento A puesto que la ocurrencia o no de A no afecta al evento B.

Proposición 3.6: Si B es independiente de A, entonces A es independiente de B.

Demostración: De la definición de probabilidad condicional se tiene

y

Despejando [3.3]

Como B es independiente de A, se tiene: P(B/A) = P(B) y sustituyendo en [3.3] nos conduce a la expresión Por lo tanto, , de donde , lo que nos indica que A es independiente de B.

Proposición 3.7: A y B son independientes si y sólo si

Demostración: Si A y B son independientes, entonces

P(B/A) = P(B) y P(A/B) = P(A) [3.4]

De la definición de probabilidad condicional se derivó la ecuación [3.5]

 [3.5]

Sustituyendo [3.4] en [3.5] se tiene:

Por otra parte, si , entonces

 y  

De donde A es independiente de B y B es independiente de A.


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