La Recta

La Recta

Recta

En geometría euclidiana, la recta o la línea recta es una línea que se extiende en una misma dirección por tanto tiene una sola dimensión y contiene un número infinito de puntos. Dicha recta también se puede describir como una sucesión continua de puntos extendidos en una sola dirección.

Es uno de los entes geométricos fundamentales, junto al punto y el plano. Son considerados conceptos apriorísticos ya que su definición solo es posible a partir de la descripción de las características de otros elementos similares. Un ejemplo de las dificultades de la definición de la recta a partir de puntos es la llamada paradoja de Zenón de la dicotomía que ilustraba la desaparición de la recta al dividirla en puntos porque luego no había un concepto para ensamblar dicha recta a partir de puntos ya que la unión de dos puntos es un punto. Las rectas se suelen denominar con una letra minúscula.

En geometría analítica las líneas rectas en un plano pueden ser expresadas mediante una ecuación del tipo y = m x + b, donde x, y son variables en un plano cartesiano. En dicha expresión m es denominada la “pendiente de la recta” y está relacionada con la inclinación que toma la recta respecto a un par de ejes que definen el plano. Mientras que b es el denominado “término independiente” u “ordenada al origen” y es el valor del punto en el cual la recta corta al eje vertical en el plano.

En geometría euclidiana, la recta o la línea recta es una línea que se extiende en una misma dirección por tanto tiene una sola dimensión y contiene un número infinito de puntos. Dicha recta también se puede describir como una sucesión continua de puntos extendidos en una sola dirección.

Es uno de los entes geométricos fundamentales, junto al punto y el plano. Son considerados conceptos apriorísticos ya que su definición solo es posible a partir de la descripción de las características de otros elementos similares. Un ejemplo de las dificultades de la definición de la recta a partir de puntos es la llamada paradoja de Zenón de la dicotomía que ilustraba la desaparición de la recta al dividirla en puntos porque luego no había un concepto para ensamblar dicha recta a partir de puntos ya que la unión de dos puntos es un punto. Las rectas se suelen denominar con una letra minúscula.

En geometría analítica las líneas rectas en un plano pueden ser expresadas mediante una ecuación del tipo y = m x + b, donde x, y son variables en un plano cartesiano. En dicha expresión m es denominada la “pendiente de la recta” y está relacionada con la inclinación que toma la recta respecto a un par de ejes que definen el plano. Mientras que b es el denominado “término independiente” u “ordenada al origen” y es el valor del punto en el cual la recta corta al eje vertical en el plano.

Definiciones y postulados de Euclides relacionados con la recta

Euclides, en su tratado denominado Los Elementos,1​ establece varias definiciones relacionadas con la línea y la línea recta:

Una línea es una longitud sin anchura (Libro I, definición 2).

Los extremos de una línea son puntos (Libro I, definición 3).

Una línea recta es aquella que yace por igual respecto de los puntos que están en ella (Libro I, definición 4).

Características de la recta

La recta se prolonga indefinidamente en ambos sentidos.

En geometría euclidiana, la distancia más corta entre dos puntos es la línea recta.

La recta puede definirse como el conjunto de puntos situados a lo largo de la intersección de dos planos.

Semirrecta

Se le llama semirrectanota 1​ a cada una de las dos partes en que queda dividida una recta al ser cortada en cualquiera de sus puntos. Es la parte de una recta conformada por todos los puntos que se ubican hacia un lado de un punto fijo de la recta, denominado origen, a partir del cual se extiende indefinidamente en una sola dirección. Semirrecta opuesta

La semirrecta opuesta de una semirrecta es la otra semirrecta salida de la recta que define la primera.5​6​

Cada semirrecta solo tiene una semirrecta opuesta.

Una semirrecta y su semirrecta opuesta tienen el mismo origen.

Ecuación de la recta en el plano

En un plano cartesiano, podemos representar una recta mediante una ecuación general definida en dicho plano ya sea mediante coordenadas usando puntos y vectores, o bien funciones que especifican dichas coordenadas. Pendiente y ordenada al origen

Dada una recta mediante un punto, P = ( x 0 , y 0 ), y una pendiente m {\displaystyle m\,} m\,:

Se puede obtener la ecuación de la recta a partir de la fórmula de la pendiente (ecuación punto-pendiente):

y − y 0 = m ( x − x 0 )

donde m es la tangente del ángulo que forma la recta con el eje de abscisas X. Ejemplos

a) La ecuación de la recta que pasa por el punto A = ( − 8 , − 8 ) y que tiene una pendiente de m = 2 {\displaystyle m=2} {\displaystyle m=2} es:

Sustituyendo en la ecuación anterior tenemos:

y − y 1 = m ( x − x 1 )

y − ( − 8 ) = 2 ( x − ( − 8 ) )

y + 8 = 2 ( x + 8 )

y + 8 = 2 x + 16

y − 2 x + 8 − 16 = 0

y − 2 x − 8 = 0

b) La ecuación de la recta que pasa por el punto A = ( 2 , − 4 ) y que tiene una pendiente de m = − 1 3 {\displaystyle m=

x + 3 y + 10 = 0

Demostración

Forma simplificada de la ecuación de la recta

Si se conoce la pendiente m, y el punto donde la recta corta al eje de ordenadas es (0, b), podemos deducir, partiendo de la ecuación general de la recta, y − y 1 = m ( x − x 1 )

y − b = m ( x − 0 )

y − b = m x

y = m x + b

Esta es la segunda forma de la ecuación de la recta y se utiliza cuando se conoce la pendiente y la ordenada al origen, que llamaremos b

Posiciones relativas entre rectas

Dos rectas serán paralelas si tiene vectores directores paralelos.

Dos rectas serán coincidentes si comparten al menos dos puntos diferentes.

Dos rectas se intersecan si no son paralelas y tienen un punto en común.

Dos rectas serán coplanarias5​ si están contenidas en algún plano.

Dos rectas son coplanarias si y solo si o bien son coincidentes o bien se intersecan o bien son paralelas.

Dos rectas se cruzannota 2​ si no son paralelas ni tienen puntos comunes.

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