Probabilidad Condicional

Probabilidad Condicional

PROBABILIDAD CONDICIONAL

Si A y B son dos eventos en S, la probabilidad de que ocurra A dado que ocurrió el evento B es la probabilidad condicional de A dado B, y se denota . La probabilidad condicional por definición es:

 , dado P(B) > 0 

Ejemplo: • Para un dado, si sé que cayó impar, cuál es la probabilidad de 3? Similarmente:

De donde:

Esta expresión se conoce como el Teorema de Bayes, que en su forma más general es:

El denominador se le conoce como el teorema de la probabilidad total. EJEMPLO: 1. Se lanza al aire dos dados normales, si la suma de los números que aparecen es de por lo menos siete, a. determine la probabilidad de que en el segundo dado aparezca el número cuatro, b. Determine la probabilidad de que ambos números sean pares, c. Determine la probabilidad de que en el primer dado aparezca el numero dos.

Solución: El espacio muestral es el mismo que cuando se lanza un dado dos veces y se muestra a continuación;

       (1,1) (2,1) (3,1) (4,1) (5,1) (6,1)
       (1,2) (2,2) (3,2) (4,2) (5,2) (6,2)

d = (1,3) (2,3) (3,3) (4,3) (5,3) (6,3)

       (1,4) (2,4) (3,4) (4,4) (5,4) (6,4)
       (1,5) (2,5) (3,5) (4,5) (5,5) (6,5)
       (1,6) (2,6) (3,6) (4,6) (5,6) (6,6)

a. Para calcular una probabilidad condicional es necesario definir los eventos A y E, siendo estos, A = evento de que en el segundo dado aparezca el número cuatro, E = evento de que la suma de los números que aparecen sea de por lo menos siete, (que es que es el evento que está condicionando)

       E = {21 elementos, los que suman siete o más}
       (6,1)
       (5,2) (6,2)

E = (4,3) (5,3) (6,3)

       (3,4) (4,4) (5,4) (6,4)
       (2,5) (3,5) (4,5) (5,5) (6,5)
       (1,6) (2,6) (3,6) (4,6) (5,6) (6,6)

        A = {6 elementos, los que en el segundo dado aparece el cuatro}

  A = (1,4) (2,4) (3,4) (4,4) (5,4) (6,4)

Luego, AÇE = (3,4) (4,4) (5,4) (6,4), ½AÇE½= 4 elementos Por tanto; p(A½E) = ½AÇE½/ ½E½= 4/21 = 0.19048 b. E = evento de que la suma de los números que aparecen sea de por lo menos siete

       (6,1)
       (5,2) (6,2)

E = (4,3) (5,3) (6,3)

       (3,4) (4,4) (5,4) (6,4)
       (2,5) (3,5) (4,5) (5,5) (6,5)
       (1,6) (2,6) (3,6) (4,6) (5,6) (6,6)

A = evento de que ambos números sean pares

         (2,2) (4,2) (6,2)

A = (2,4) (4,4) (6,4)

         (2,6) (4,6) (6,6)
              (6,2)

AÇE = (4,4) (6,4) ½AÇE½= 6 elementos

              (2,6) (4,6) (6,6)

p(A½E) = ½AÇE½/ ½E½

  = 6/ 21
  = 0.28571

c. E = evento de que la suma de los números que aparecen sea de por lo menos siete

       (6,1)
       (5,2) (6,2)

E = (4,3) (5,3) (6,3)

       (3,4) (4,4) (5,4) (6,4)
       (2,5) (3,5) (4,5) (5,5) (6,5)
       (1,6) (2,6) (3,6) (4,6) (5,6) (6,6)

A = evento de que en el primer dado aparezca el número dos

       (2,1)
       (2,2) 

A = (2,3)

       (2,4) 
       (2,5) 
       (2,6) 

AÇE = (2,5), ½AÇE½= 1 elemento P(A½E) = ½AÇE½/½E½

  = 1/21 
  = 0.04762

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