Asintotas Horizontales Verticales Y Oblicuas

Asintotas Horizontales Verticales Y Oblicuas

Denominamos como asíntotas básicamente a aquellas rectas a las cuales una función puede aproximarse lo suficientemente (indefinidamente) pero de cierto modo nunca tocarla o encontrarse definida para el valor de la recta.

Dentro del concepto de las funciones racionales las asíntotas constituyen una parte muy importante, ya que nos muestran la conexión directa de su indefinición para ciertos valores así como la razón de su gráfica.

Tendemos a clasificar a tales en 3 tipos generalmente:

1.- Asíntotas horizontales.
2.- Asíntotas verticales.
3.- Asíntotas oblicuas.

Existen dos maneras principalmente para calcularlas, una es mediante el uso del cálculo diferencial (precisamente mediante el uso del límite de una función) otra es mediante la técnica rudimentaria pero un tanto equivalente a lo utilizado en el cálculo. Mencionada en el tema pasado: Comportamiento local y en infinito.

Para ejemplo de dicha ocasión nos limitaremos únicamente a la utilización de la segunda manera (la técnica rudimentaria), por cuestiones del programa.

Supongamos que tenemos lo siguiente:

Función:

Tabulación de valores:

Operaciones de la tabulación:

Gráfica de la función:

Asíntota vertical

La asíntota vertical consistirá en una recta del tipo donde “k” representa un valor constante, por ejemplo sí desearamos encontrar la asíntota vertical de nuestra función previamente dada lo único que tendríamos que realizar es ubicar el valor para el cual la función en cierto sentido no esta definida. Como podemos observar en la tabla previamente dada, nuestra asíntota vertical se encuentra en

Asíntota horizontal

La asíntota horizontal consistirá en una recta del tipo donde “k” representa un valor constante, por ejemplo sí desearamos encontrar la asíntota horizontal de nuestra función previamente dada lo único que tendríamos es utilizar la cuestión de una regla existente.

La cual se establece en base a los valores de los grados del númerador y denominador de la función racional, tal como nos muestra las siguiente tres reglas:

Siendo (m) el grado del polinomio incluido en el numerador y (n) el grado del polinomio incluido en el denominador de la función.

Si m<n existe una asíntota horizontal dentro de la función y esta dada por: y = 0.
Si m=n hay una asíntota horizontal dentro de la función y esta dada por la fracción: y = am/bn (donde justamente “a” y “b” representan los coeficientes principales de la función siendo “a” para el coeficiente del numerador y “b” el coeficiente principal del denominador).
Si m>n no se encuentra definida una asíntota horizontal para la función dada.

Lo cual nos afirma que si el grado del numerador es exactamente uno más que el denominador, entonces hay una asíntota oblicua contemplada dentro de la función racional y esta dada por el cociente de la división de los polinomios.

Debido a que en nuestra función dada m>n (2>1) tenemos que para el caso particular de nuestra función no tenemos una asíntota horizontal definida, pero sí una asíntota oblicua. Tal como procedemos a calcularla a continuación:

Asíntotas oblicuas

La asíntota oblicua consistirá generalmente en una recta del tipo donde “m” representa la pendiente y “b” el término independiente, dicha recta es calculada (sin la necesidad del cálculo) bajo la simple división de aquellos polinomios que podrían conformar la función racional. Por ejemplo dada la función anterior, lo que hacemos es dividirla obteniendo como resultado lo siguiente:

Representación de dicha asíntota ya en la función racional

Como podemos observar la recta de color azúl (asíntota oblicua) en ningún momento toca a lo corresponde como la función racional, cumpliendo de esta manera con aquellas características que identifican a las asíntotas justamente.

Todo este proceso se realizo en base a lo que se conoce de la geometría analítica y el álgebra, más aun existe un enfoque alternativo basado en el cálculo diferencial que nos permite obtener los mismos resultados bajo otro tipo de condiciones exclusivas del mismo. Dicho enfoque será abordado en lo respecta a la siguiente materia por introducir aquí en prepafacíl.


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