Ceros Y Raices Reales

Ceros Y Raices Reales

Denominamos como ceros y raíces reales a aquellos valores obtenidos de x, cuando precisamente la función en y=0.

Es decir, son aquellos valores que cumplen con el criterio siguiente:

Ya sea que la función sea una función polinomial, trigonométrica, etc. para ejemplo de la temática se abordan como ejemplo las funciones polinomiales de grado 3 o 4.

Existen situaciones dentro de todo el abismo de funciones polinomiales de grado 3 o 4 que al graficarlas por algunos de los métodos conocidos: Tabulación de valores, software especializado, etc; es posible reconocer e identificar los ceros o raíces reales con facilidad ya sea por simple observación o bien por medios analíticos.

Como podría ser el caso de los siguientes ejemplos:

Ejemplo 1:


Ejemplo 2:

Que por percepción analítica sea relativamente facíl de ubicar los supuestos ceros, no quiere decir que precisamente se encuentren donde pensamos que están… Como en el ejemplo 1 se puede observar, conocemos por el teorema fundamental de álgebra que una función polinomial de grado 3 posee tres raíces más aún así unicamente podemos visualizar 3 cortes posibles sobre el eje de las X’s.

Esto no significa que no existan, sino que dichas raíces reales o ceros estan ubicadas en el margen de una cantidad extremadamente pequeña cuya expresión generalmente es unicamente a base de una raíz o bien una fracción. Para lograr a dicha expresión es que se acude a los métodos analíticos (razón principal de la creación de dichos métodos).

Ahora bien, en los métodos analíticos en el caso de las funciones polinomiales de grado 3 y 4 es cuando se complica el asunto… Pues no existe un método en concreto considerado general para lograr expresar los ceros o raíces reales de una determinada función polinomial, por lo cual tendemos acudir a lo que se conoce de la:

a.- Factorización.
b.- Aproximación numérica (Métodos numéricos).

Por mencionar solo algunos de los conceptos o bien en algunos casos dependiendo del tipo de función polinomial las características de la función son de gran de ayuda, debido a que por medio de sus propiedades buscamos cualidades que nos permitan conocer con facilidad los ceros de la función.

Por ejemplo, en el caso de una función polinomial de grado 3 careciente de un término independiente podemos utilizar la cuestión de las siguientes características, cuando “b” es igual al cero o raíz de la función para orientarnos en el proceso de la búsqueda de raíces:

1.- x=b es una raíz o cero de la función.
2.- x=b es una solución de la ecuación polinomial de f(x)=0.
3.- (x-b) es justamente un factor de la función polinomial f(x).
4.- (b,0) es una intersección en el eje de las x de la gráfica de la función f(x).

Así mismo cabe destacar que la misma graficación de la función polinomial se ve favorecida al conocer los ceros de la función, pues conocemos por donde pasa en el eje de las X y así podemos hacer un gráfica más acorde a la función dada.

Ejemplo de la determinación de los ceros de la función polinomial de grado 3

Dada la siguiente función polinomial de grado 3, calcular sus ceros y comprobar gráficamente dichas raíces:

A primer instancia notamos que es una función polinomial de grado 3 sin término independiente.. Por lo cual existe un factor común que nos permite expresar dicha función como:

Seguido nos percatamos que dentro de uno de los factores tenemos un trinomio el cual puede ser factorizable o no, de lo contrario habrá que completar cuadrado a fin de convertirlo en trinomio cuadrado perfecto o dicho de otra manera factorizable (tal no es el caso de este ejemplo, pues es factorizable) quedandonos algo como:

Por último aplicamos el teorema del factor nulo con el objetivo de concluir y determinar las raíces de dicha función dada:

Obteniendo como resultado justamente las tres raíces (x1, x2, x3), si nos disponemos a observar tal cosa a nivel gráfico nos percataremos que dichas raíces cumplen justamente la igualdad (f(x)=0):

En caso de que no existir la posibilidad de poder determinar las raíces de la función polinomial dada por este método, hubiera preciso acudir a los métodos numéricos o otros métodos más especializados para la búsqueda de raíces en funciones polinomiales.

La situación en el caso de tener una función polinomial de grado 4 o incluso algunos casos especiales de grado 3, es un tanto diferente ya que pueden existir situaciones en las cuales no sea posible determinar los ceros o raíces reales de una función de acuerdo al criterio (f(x)=0) por la razón de que simplemente no existen o no están definidos. A dicha cuestión se le conoce como raíces complejas y es necesario previamente a disponernos a verificar si tiene a fin no desperdiciar tiempo en lograr de determinar las raíces reales.

En esta ocasión no explicaremos en que consiste dicha verificación pues esto procede al tema de Ceros y raíces complejas e involucra la determinación de las raíces reales de una función polinomial de grado 3 con división sintética que justamente observaremos en el siguiente tema: División sintética.

Nota: Al referirnos como cero o raíz real ambos términos tienen el mismo enfoque, solo que algunos textos del área hacen como distinción cero a aquel valor que permite expresar el criterio de las raíces y a raíz real como aquel valor que satisface el criterio. En ambos sentidos es el mismo valor, aclaramos tal cosa pues es muy común confundirse en este tipo de aspectos irrelevantes en cierto sentido para el tema (solo es una cuestión de nombres).


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