Comportamiento Y Bosquejo De Graficas De Funciones Polinomiales De Grados 3 Y 4

Comportamiento Y Bosquejo De Graficas De Funciones Polinomiales De Grados 3 Y 4

Denominamos como comportamiento y bosquejo de gráficas de funciones polinomiales de grados 3 y 4 a aquellas representaciones gráficas que podría tener una determinada función polinomial de grado 3 o 4 en lo que se refiere al comportamiento, es decir dicho de otro modo asociamos comportamiento con representación gráfica. Por el lado del bosquejo se habla de aquello que se utiliza generalmente para conocer precisamente como puede llegarse a comportar una función polinomial.

Ahora bien, ¿Como lo hacen las funciones polinomiales de grado 3 y 4?

La respuesta a esto, puede no encontrar a simple vista ya que usualmente no existe un elemento en concreto para toda función polinomial de grado 3 o 4 con el cual podemos asociar dichas funciones en cuestión de su gráfica… Como lo podríamos hacer con una función cuadrática en el caso de la parábola.

Por ello el bosquejo y comportamiento típicamente se ve ligado a determinarse a través del análisis de una determinada función y sus variantes, es decir tomamos una cierta función luego la hacemos variar generando de la misma una serie de variantes con una propiedad en común de tal manera que la original y las variantes nos pueden ayudar a aproximarnos a un comportamiento muy certero de aquel que podría tener en realidad. Claro está, esto muy práctico y con frecuencia se utiliza cuando en la mayoría de los casos no posee al alcance software especializado en la graficación de funciones o un dispositivo que lo permita (como algunas calculadoras científicas lo permiten).

Otras características que son contempladas en lo que respecta al bosquejo y comportamiento, es el hecho de que tanto las funciones polinomiales de grado 3 y 4 son continuas. A manera general de hecho todas las funciones polinomiales son continuas. Esto repercute en que no tenemos que analizar por tramos o trazas para lograr bosquejar y conocer que intervalos son aquellos en los cuales este definida en particular la función, esto al igual manera nos simplifica pues nos olvidamos de indeterminaciones y otro tipo de detalles que se reflejan en la no definición de una función.

Existen un par de nombres que generalmente utilizamos para asociar a funciones polinomiales de grado n-énesimo con gráfica sencilla, uno de ellos es el término de monomio (polinomios con un solo término).

Aclarado el punto, todo este proceso es posible observarlo en el siguiente ejemplo:

Con el análisis de la función polinomial de grado 3, mínima:



Si observamos, cada una de las gráficas anteriores nos percataremos que el coeficiente positivo provoca que el comportamiento gráfico de las funciones tenga la misma forma creciendo al infinito hacia la derecha y decreciendo al infinito a la izquierda.

Cuando cambiamos de signo dicho coeficiente principal ocurre una inversión en las gráficas, dicho efecto no ocurre en el caso de cambiar el signo de cualquier otro coeficiente de aquellos términos que podría tener la función polinomial, como se puede observar:



El cambiar el signo de cualesquier otro coeficiente (excepto el coeficiente principal) de una función polinomial modifica la gráfica, más no realiza una inversión. Si comparamos las seis funciones anteriores y sus respectivas gráficas podemos percatarnos de ello.

Si a una función polinomial de grado 3, le sumamos o restamos un término independiente la gráfica se translada en el eje vertical según sea el sentido del valor:

Ejemplos:


Ahora bien, si multiplicamos la función polinomial inicial bajo alguna constante lo único que ocurre, es que la misma se ve amplificada de tal manera que a mayor sea el valor de esa constante menor será lo pronunciado de la gráfica (a excepción de la función con aumento en la variable cuadrática).

La característica principal de esta función polinomial de grado 3, es que al tener un grado igual a un número impar se encuentra definida tanto en dominio como en rango en todos los números reales.

Por otro lado, en el caso de las funciones polinomiales de grado 4 al igual manera es necesario analizar por medio de una función inicial y una variantes

Dicha función tiene un comportamiento muy similar a una función polinomial de grado 2, es decir una parábola. Solo que con un crecimiento más rápido debido a que pendiente es representada por una función polinomial de grado 3.

Como puede observarse en la siguiente función:

Una función polinomial de grado 4, el dominio tiene cabida en todo el conjunto de los números reales, pero el rango sólo en ciertas parte tiene cabida, a diferencia de la función polinomial de grado 3 la cual esta definida tanto en dominio como en rango para todo el conjunto de los números reales. Esto se debe en gran mayoría a la manera en que esta dictado el comportamiento gráfico, ya que existe una correspondencia entre la definición de una función y su gráfica por tanto si no esta definida su función en cierta parte del plano al igual no esta definida analíticamente la función para ese valor que represente cierta parte en el plano.

Los coeficientes o parámetros sobre la función tienen el mismo efecto que en una función polinomial de grado dos, es decir en el caso de que la constante principal sea positiva la función tiende infinitamente hacia arriba, de lo contrario si es negativa, la función tiende infinitamente hacia abajo.

De conocer la forma general de una función polinomial de grado 4, es posible conocer aquel punto máximo o punto mínimo, ya que estos en gran medida dependen del signo que tenga el coeficiente principal o el parámetro “a” (en el caso de asociar los coeficientes con el término de parámetros).


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