Crecimiento Y Decaimiento Exponencial

Crecimiento Y Decaimiento Exponencial

Denominamos como (crecimiento y decaimiento exponencial) a aquellos dos modelos los cuales expresan una situación de disminución o incremento proporcional al tamaño actual del intéres (visto desde otra perspectiva al valor actual de las x) ya que se tiende a utilizar la cuestión de las “x” para representar la situación de un intéres en algunos problemas de aplicación.

Tales situaciones de (crecimiento/decaimiento) son encontradas en áreas como: ciencias sociales, química, biología, finanzas, etc.

Así mismo esta cuestión representa una parte fundamental del precálculo ya que nos ilustra aquella cuestión de perdida o ganancia que podría tener una función exponencial en términos de su pendiente.

Por el lado del crecimiento exponencial tenemos la función:

O de manera más general:

Donde representa el coeficiente principial de la función, “a” representa la base y “k” representa el coeficiente de la potencia conformada con “kx”.

Por el lado del decaimiento exponencial tenemos la función:

O de manera más general:

Donde representa el coeficiente principial de la función, “a” representa la base y “k” representa el coeficiente de la potencia conformada con “-kx”. (Cabe destacar que ambas funciones estan definidas para todos los números reales).

Como podemos percibir la única diferencia existente entre el decaimiento y el crecimiento en cuestión de sus funciones, es prácticamente la potencia positiva y la potencia negativa que podemos llegar a encontrar ya sea en una u otra función.

Esta simple diferencia repercute en que tengamos el efecto de un decaimiento o crecimiento en un problema determinado, tal como podría ilustrarse en la siguiente función si se analiza desde ambos enfoques:

Función:

Crecimiento

Decaimiento

En la primera función podemos percibir claramente como a medida que “x” es asignado el valor de f(x) crece de manera proporcional, contrario a lo que podemos observar en la segunda función.

Algunas de las aplicaciones más comúnes son: decaimiento radiactivo, concentración de drogas, crecimiento de población.

Ejemplos de aplicación:

Crecimiento

La población del mundo en el año 2011 es de aproximadamente 7000 millones de personas y la tasa de crecimiento relativa es de 2.54% anual. Si la población continua creciendo a este ritmo ¿Al cabo de 10 años que cantidad de personas habrá aproximadamente en el mundo?

Debido a que el problema representa una alza utilizamos la función del crecimiento así mismo analizamos si poseemos todos los datos necesarios para efectuar la proyección de crecimiento, identificando que:

Ya que tenemos esto identificado, lo único que procede es poner en función el tiempo necesario a fin de conocer la cantidad de personas que habrá aproximadamente cuando la función tenga como parámetro de entrada (x=10) por los 10 años.

Teniendo en mente que la función esta dada por la siguiente expresión:

Resultado

Decaimiento

La población del mundo en el año 2010 es de aproximadamente 6854 millones de personas y la tasa de mortalidad relativa es de 8.5% anual. Si en la población se detuvieran los nacimientos y continuarán falleciendo a este ritmo ¿Al cabo de 10 años que cantidad de personas habrá aproximadamente en el mundo?

Debido a que el problema representa una baja utilizamos la función del decaimiento seguido analizamos si poseemos todos los datos necesarios para efectuar la proyección de crecimiento, identificando que:

Ya que tenemos esto identificado, lo único que procede es poner en función el tiempo necesario a fin de conocer la cantidad de personas que que habrá aproximadamente cuando la función tenga como parámetro de entrada (x=10) por los 10 años.

Teniendo en mente que la función esta dada por la siguiente expresión:

Resultado


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