Division Sintetica

Division Sintetica

Consideramos como división sintética a aquella operación en cierto sentido reducida entre dos polinomios posibles que hace uso de los coeficientes para efectuar su proceso.

Básicamente es una división de un polinomio sobre un binomio del tipo: , donde “a” es una constante cualesquiera.

La utilidad de dicho tipo de división se ve reflejado en el proceso de la determinación de las raíces reales de una función polinomial de grado 3 y 4, motivo por el cual la mencionamos.

Ahora bien, explicaremos a base de un ejemplo en que consiste esta determinación de las raíces reales de una función polinomial de grado 3 y como influye la división sintética.

Ejemplo:

Determine las raíces reales de la siguiente función polinomial:

Por el conocimiento que tenemos en base al álgebra elemental, podemos definir que tal función polinomial es perfectamente factorizable obteniendo algo como:

Lo cual nos conduce a reconocer la existencia de dos factores conformados por unos binomios del tipo , con constantes −4 y +4 ya sea en uno de los casos o en el otro. Y admitir la existencia de un cierto teorema:

Si “r” es una raíz de la función polinomial y=f(x) de grado n-énesimo, entonces podemos factorizar dicha a través de:

Donde (x-r) constituye un binomio y g(x) otra función polinomial de grado (n-1) con respecto a la función original. (Todo esto pudimos comprobarlo en el ejemplo anterior).

La razón por la cual esto es valido, se debe al simple hecho de como esta constituida la multiplicación de dos elementos reales pues recordemos que existen un desarrollo o despeje que nos permite generar todo este tipo de igualdades:

Por lo cual podemos afirmar que el teorema es una consecuencia inmediata de un despeje algebraico. Donde h(x) representa el binomio y g(x) la función polinomial de grado (n-1)

En términos de nuestro ejemplo tenemos:

Motivo por el cual podemos definir que en una función de grado n denotada por . Si “r” es una de sus raíces entonces la función polinomial tiene la capacidad de poder dividirse exactamente las (x - r).

Para nuestro caso vendría a ser lo siguiente:

Siendo esta parte la crucial, pues aquí es donde expresaremos las (x-r) partes en que puede divirse el polinomio mediante una típica división de polinomios, en la cual si tomaramos unicamente los coeficientes se llamaría una división sintética quedandonos algo como:

Debido a que una división con residuo puede ser expresada de la siguiente forma: , a esto coloquialmente en primaria y secundaria es lo que se le conoce como expresar una fracción por medio de un número mixto.

Ahora bien efectuar este proceso bajo la división sintética no representa un gran avance pues en lo mismo que la división entre polinomios común solo que con los puros coeficiente (lo cual en teoría preve y evita aquella posible confusión que podría presentarse al momento de calcular la división).

Teniendo como objetivo ambas multiplicaciones construir una igualdad con el residuo de la división de polinomios y una cierta expresión algebraica, de tal manera que de la igualación a cero del residuo podamos obtener las raíces “r” que nos permiten expresar nuestra función de acuerdo al teorema.

Por ejemplo, nosotros ya conociamos que dicha función era factorizable fácilmente por lo cual conociamos las “r” −4 y +4 de ambos factores… Si nosotros no las hubieramos conocido y hubieramos hecho todo este proceso, estas podrían ser calculadas simplemente tomando el residuo de la división y sometiendolo a cero, como se muestra:

Es decir, la incógnita “x” presente en el residuo vendría a ser justamente el o los valores de “r”.

Prácticamente en todo la determinación de las raíces de una función polinomial de grado 3 o 4 este sería el medio en que la división sintética muestra su utilidad y se ve involucrada. Motivo por el cual les hablamos un poco de ella en esta ocasión aún cuando no la llevamos a cabo, pues consideramos que es más importante mostrar la razón que el cómo.


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