Funciones Exponencial Y Logaritmica

Funciones Exponencial Y Logaritmica

Denominamos como (función exponencial y función logarítmica) a aquellas funciones no algebraicas (transcendentales) que aprovechan operaciones como: la potenciación y su contraparte inversa (logaritmo).

Nos referirmos a una función exponencial como aquella función del tipo: , donde “c” representa una constante (número real) y “x” una variable independiente. La función tiene como objetivo que a cada número dado (x) asignar una potencia del tipo como resultado de “f(x)”, motivo por el cual comúnmente se le llama como función exponencial de base c y exponente x.

Ejemplos de funciones:

Una de las características principales de dicha función se encuentra lígada con lo que conocemos de su representación gráfica, es decir la capacidad de tender a crecer o decrecer indefinidamente a medida que los valores de “x” se van asignando gradualmente.

Tal como podemos apreciar en la tabulación y graficación de la siguiente función exponencial:

Función

Tabulación

Graficación

Como es posible percibir cada uno de los puntos o coordenadas conformadas (x,f(x)) de la tabulación anterior, nos ayudan a explicar como a medida que se van asignando gradualmente los valores de “x” la función tiende a crecer indefinidamente hasta llegar al grado de prácticamente ser muy difícil de determinar.

Algunas de la características fundamentales que acarrean dicho tipo de función se encuentran:

a.- Una función exponencial se encuentra definida tanto en su dominio como imagen (contradominio) para todos los números reales .
b.- Es continua a lo largo de su dominio de definición.
c.- Si la base c > 1 la función tiende a crecer.
d.- Si la base c < 1 la función tiende a decrecer.
e.- Los puntos o coordenadas (0, 1) y (1, c) pertenecen a la misma gráfica.
f.- Ningún valor cualesquiera de su imagen posee un doble valor en su dominio, es por ello que tendemos a decir que es inyectiva para todo elemento de la base.
g.- La gráfica de una función exponencial con base c es simetríca con respecto al eje Y cuando se tiene la función exponencial del recíproco de la base (1/c).

Nota: Algunos autores asocian como una función meramente exponencial a aquella función que posee como base la constante e o número de Euler, dicho de otro el valor de . Más aun también se consideran funciones exponenciales las funciones previamente dadas por la razón de que independientemente que no utilicen como base la constante e, aprovechan la idea clave entorno a las funciones exponenciales (mediante la utilización de la potenciación).

Por otro lado nos referimos como una función logarítmica o logarítmo a aquella función del tipo: donde “c” es la base utilizada (c>0, c distinto de cero) y “x” es la variable independiente, el objetivo de está es determinar el exponente al cual hay que elevar una cierta base a fin de obtener el valor puesto en función.

Dicho en otras palabras básicamente consiste en determinar el número (exponente) al cual hay que elevar la base con el fin de encontrar un resultado de una exponenciación.

Ejemplos:

Como podemos observar dado un valor de entrada obtenemos un exponente como salida. La verificación de sí dicho exponente es correcto se ubica entorno a la base elegida para la función logarítmica.

Las bases más comunes de utilzar son la base 10 y la base e, aun así podemos emplear casi cualquier número real como base salvo el número “1″ y que la la base sea positiva.

Llamamos como logaritmo decimal a aquellos logaritmos que utilizan la base 10 y logarítmo neperiano a los que utilizan la base e.

Por ejemplo, si deseamos verificar las anteriores funciones lo único que tenemos que hacer es tomar el valor resultado de la función y someterlo a la base a fin de conocer el valor de entrada de la función, tal como se muestra:

Cabe destacar que dentro de las características principales de esta función comparte con la función exponencial la capacidad de tender a crecer o decrecer indefinidamente a medida que los valores de “x” se van asignando gradualmente.

Tal como podemos apreciar en la tabulación y graficación de la función recíproca de la función exponencial dada:

Función

Tabulación

Graficación

Así mismo las funciones logarítmicas al igual posee una serie características muy parecidas a la de las funciones exponencial consideradas como fundamentales:

a.- Su dominio de definición se encuentra en los números reales positivos
b.- Su contradominio o imagen se encuentra definida para todos los números reales
c.- Si la base c > 1 la función tiende a crecer.
d.- Si la base c < 1 la función tiende a decrecer.
e.- La gráfica de una función logarítmica con base c es simetríca con respecto a una línea proyectada a 45 grados del origen del plano (o bien a los cuadrantes 1 y 3 del plano) de su función exponencial debido a que son funciones recíprocas.
f.- Es continua a lo largo de su dominio de definición.
g.- Los puntos o coordenadas (0, 1) y (c, 1) pertenecen a la misma gráfica.
h.- Ningún valor cualesquiera de su imagen posee un doble valor en su dominio, es por ello que tendemos a decir que es inyectiva para todo elemento de la base.

Propiedades de los logaritmos

Criterios de definición de un logaritmo

1.- No se encuentra definido el logaritmo de un número con base negativa.
2.- No se encuentra definido el logaritmo de un número negativo.
3.- No se encuentra definido el logaritmo de cero.
4.- El logaritmo de 1 es cero.
5.- El logaritmo en base a de a es uno.
6.- El logaritmo en base a de una potencia en base a es igual al exponente.


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