Funciones Matematicas

Funciones Matematicas

Función matemática

En matemáticas, se dice que una magnitud o cantidad es función de otra si el valor de la primera depende del valor de la segunda. Por ejemplo el área A de un círculo es función de su radio r (el valor del área es proporcional al cuadrado del radio, A = π·r2). Del mismo modo, la duración T de un viaje en tren entre dos ciudades separadas por una distancia d de 150 km depende de la velocidad v a la que se desplace el tren (la duración es inversamente proporcional a la velocidad, d / v). A la primera magnitud (el área, la duración) se la denomina variable dependiente, y la cantidad de la que depende (el radio, la velocidad) es la variable independiente.

En análisis matemático, el concepto general de función, aplicación o mapeo se refiere a una regla que asigna a cada elemento de un primer conjunto un único elemento de un segundo conjunto (correspondencia matemática). Por ejemplo, cada número entero posee un único cuadrado, que resulta ser un número natural (incluyendo el cero):

…  −2 → +4,  −1 → +1,  0 → 0,       +1 → +1,  +2 → +4,  +3 → +9,  … 

Esta asignación constituye una función entre el conjunto de los números enteros Z y el conjunto de los números naturales N. Aunque las funciones que manipulan números son las más conocidas, no son el único ejemplo: puede imaginarse una función que a cada palabra del español le asigne su letra inicial: …, Estación → E, Museo → M, Arroyo → A, Rosa → R, Avión → A, …

Esta es una función entre el conjunto de las palabras del español y el conjunto de las letras del alfabeto español.

La manera habitual de denotar una función f es:

f: A → B

a → f(a),

donde A es el dominio de la función f, su primer conjunto o conjunto de partida; y B es el codominio de f, su segundo conjunto o conjunto de llegada. Por f(a) se denota la regla o algoritmo para obtener la imagen de un cierto objeto arbitrario a del dominio A, es decir, el (único) objeto de B que le corresponde. En ocasiones esta expresión es suficiente para especificar la función por completo, infiriendo el dominio y codominio por el contexto. En el ejemplo anterior, las funciones «cuadrado» e «inicial», llámeseles f y g, se denotarían entonces como:

f: Z → N

k → k2, o sencillamente f(k) = k2;

g: V → A

p → Inicial de p;

si se conviene V = {Palabras del español} y A = {Alfabeto español}.

Una función puede representarse de diversas formas: mediante el citado algoritmo o ecuaciones para obtener la imagen de cada elemento, mediante una tabla de valores que empareje cada valor de la variable independiente con su imagen —como las mostradas arriba—, o como una gráfica que dé una imagen de la función.

Funciones con múltiples variables

Existen muchos ejemplos de funciones que «necesitan dos valores» para ser calculadas, como la función «tiempo de viaje» T, que viene dada por el cociente entre la distancia d y la velocidad media v: cada pareja de números reales positivos (una distancia y una velocidad) tiene asociada un número real positivo (el tiempo de viaje). Por tanto, una función puede tener dos (o más) variables independientes.

La noción de función de múltiples variables independientes no necesita de una definición específica separada de la de función «ordinaria». La generalidad de la definición anterior, en la que se contempla que el dominio sea un conjunto de objetos matemáticos arbitrarios, permite omitir la especificación de dos (o más) conjuntos de variables independientes, A1 y A2, por ejemplo. En lugar de ello, el dominio se toma como el conjunto de las parejas (a1, a2), con primera componente en A1 y segunda componente en A2. Este conjunto se denomina el producto cartesiano de A1 y A2, y se denota por A1 × A2.

De este modo las dos variables independientes quedan reunidas en un solo objeto. Por ejemplo, en el caso de la función T, su dominio es el conjunto R+ × R+, el conjunto de parejas de números reales positivos.

En el caso de más de dos variables, la definición es la misma, usando un conjunto ordenado de múltiples objetos, (a1,…, an), una n-tupla. También el caso de múltiples variables dependientes se contempla de esta manera. Por ejemplo, una función división puede tomar dos números naturales como valores de entrada (dividendo y divisor) y arrojar dos números naturales como valores de salida (cociente y resto).

Se dice entonces que esta función tiene como dominio y codominio el conjunto N × N. Notación. Nomenclatura

La notación habitual para presentar una función f con dominio A y codominio B es:

f : A ⟶ B a ↦ b = f ( a )

También se dice que f es una función «de A a B» o «entre A y B». El dominio de una función f se denota también por dom(f), D(f), Df, etc. Por f(a) se resume la operación o regla que permite obtener el elemento de B asociado a un cierto a ∈ A, denominado la imagen de a.6

Ejemplos

La función «cubo» puede denotarse ahora como f: R → R, con f(x) = x3 para cada número real x.

La función «inverso» es g: R \ {0} → R, con g(x) = 1/x para cada x real y no nulo.

La función «clasificación en géneros» puede escribirse como γ: M → G, donde γ(m) = Género de m, para cada mamífero conocido m.

La función «área» se puede denotar como A: T → R, y entonces A(t) = Área de t = B · H/2, donde t es un triángulo del plano, B su base, y H su altura.

La función «voto» se puede escribir como v: E → P, donde v(a) = Partido que a votó, para cada votante a.

La notación utilizada puede ser un poco más laxa, como por ejemplo «la función f(n) = √n». En dicha expresión no se especifica que conjuntos se toman como dominio y codominio. En general, estos vendrán dados por el contexto en el que se especifique dicha función.

En el caso de funciones de varias variables (dos, por ejemplo), la imagen del par (a1, a2) no se denota por f((a1, a2)), sino por f(a1, a2), y similarmente para más variables.

Existen además terminologías diversas en distintas ramas de las matemáticas para referirse a funciones con determinados dominios y codominios:

Función real: f: R → R

Función compleja: f: C → C

Función escalar: f: Rn → R

Función vectorial: f: Rn → Rm

También las sucesiones infinitas de elementos tales como a, b, c, … son funciones, cuyo dominio en este caso son los números naturales.

Las palabras «función», «aplicación», «mapeo», u otras como «operador», «funcional», etc. pueden designar tipos concretos de función según el contexto. Adicionalmente, algunos autores restringen la palabra «función» para el caso en el que los elementos del conjunto inicial y final son números.

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